Markove reťazce

Markove reťazce patria k súboru štatistických procesov, ktoré sú označované ako stochastické (náhodné) procesy. Slúžia na sledovanie a popísanie dynamiky náhodných javov a umožňujú sledovať zákonitosti vo vzájomných vzťahoch jednotlivých prvkov spracovávaného súboru údajov. Neformálne možno Markov proces vyjadriť aj tak, že budúcnosť závisí len od prítomnosti, nie však od minulosti, čiže závislosť sa predpokladá len u dvojice náhodných veličín v dvoch susedných momentoch (Šimková, 1985). Vývoj metodík uplatniteľných v geológii, ktoré sú založené na Markovom reťazci začal koncom šesťdesiatych rokov (Pivko, 1991). Boli a sú používané na potvrdenie prítomnosti zákonitých postupností fácií v sedimentárnych sekvenciách (Gingerich, 1969; Read, 1969; Doveton, 1971; Miall, 1973; Ethier, 1975; Fairchild, 1979 ex Carr, 1982; Powers & Easterling, 1982; Carr, 1982; Graham, 1988; Selley, 1970 ex Pivko, 1991; Pivko, 1991; Leverenz, 2000). Markove reťazce možno aplikovať pokiaľ v sedimentárnej sekvencii dokážeme rozlíšiť jednotlivé litofácie (Harper, 1998). Pri každej litofácii sa pritom v podstate porovnáva jej vzťah k podložnej a nadložnej litofácii, čím získame prehľad o vzájomnom usporiadaní litofácií v sedimentárnej sekvencii. Touto metódou však nie sme schopní identifikovať napr. nahor hrúbnúce/zjemňujúce trendy v sedimentárnych sekvenciách (Harper, 1998), ktoré v niektorýc modeloch podmorských kužežov slúžia ako identifikačný znak pri interpretáciách sedimentárneho subprostredia (Mutti & Ricci Lucci, 1972; 1975).

Východiskom pre analýzu je vertikálny profil sedimentárnej sekvencie. V ňom si zvolíme členy, ktoré budeme rozlišovať a z počtu ich vzájomných prechodov vytvoríme maticu pozorovaných počtov prechodov (Pivko, 1991). Metodika je založená na tzv. kvázi nezávislosti (Powers & Easterling, 1982), to znamená, že prechody na ten istý člen pri vytváraní tejto matice ignorujeme. V úplne nezávislom modeli sa naopak vyskytujú aj takéto prechody.

Pomocou riadkových a stĺpcových súčtov z matice pozorovaných počtov prechodov ni+, n+j) a parametrov ai, bj vypočítame maticu náhodného počtu prechodov, pričom parametre ai a bj odhadujeme pomocou spresňujúcej metódy. Najskôr vypočítame prvé priblíženia parametrov ai a bj podľa vzťahov (vzorec 1 a vzorec 2), kde m je počet členov, ni+ je súčet i-tého riadku a n+j je súčet j-tého stĺpca:

Vzorec 1. vzorec01m.gif, 4 kB   Vzorec 2. vzorec02m.gif, 5 kB

Ďalšie spresnenia počítame podľa vzorcov 3 a 4:

Vzorec 3. vzorec03m.gif, 4 kB   Vzorec 4. vzorec04m.gif, 5 kB

V spresňovaní parametrov ai, bj pokračujeme až kým neplatia podmienky podľa vzťahov 5 a 6.

Vzorec 5. Vzorec 6. vzorec05m.gif, 8 kB 

Z posledných spresnení parametrov ai a bj , ktoré označíme ako i , j získame odhadované náhodné početnosti prechodov (vzorec 7) a vypočítame tak maticu náhodného počtu prechodov.

Vzorec 7. vzorec06m.gif, 2 kB

Hodnoty matice pozorovaných počtov prechodov a náhodných počtov prechodov potom prepočítame vzhľadom na ich riadkové súčty, t. j. pre prvý riadok (vzorec 8):

Vzorec 8. vzorec07m.gif, 15 kB

Získame tak maticu pozorovaných pravdepodobností prechodov a maticu náhodných pravdepodobností prechodov. Odčítaním matice náhodných pravdepodobností prechodov od matice pozorovaných pravdepodobností prechodov potom získame tzv. diferenčnú maticu (Carr, 1982; Pivko, 1991). Pomocou tejto diferenčnej matice potom môžme určiť, ktoré z pozorovaných prechodov sú nenáhodné testovaním jednotlivých kladných hodnôt. Zvolíme si hladinu významnosti 0,05 (5%). Potom všetky hodnoty, ktoré po výpočte budú väčšie než 0,05, budú nenáhodné s menej než 5% pravdepodobnosťou a teda náhodné s viac než 95% pravdepodobnosťou. Každú kladnú hodnotu testujeme použitím vzorca 9:

Vzorec 9. vzorec08m.gif, 7 kB

kde N = príslušný riadkový súčet v matici pozrovaného počtu prechodov, nobs = pozorovaný počet daného prechodu v matici náhodných pravdepodobností prechodov, q = 1 - p. Po vynásobení 100 (získame hodnoty v %) takto zistíme pravdepodobnosti náhodnosti pre jednotlivé kladné hodnoty z diferenčnej matice a z výsledných hodnôt potom môžme nakresliť diagram faciálnych vzťahov. Faciálne prechody, ktoré dosiahli hodnoty pravdepodobnosti menej ako 0,05 považujeme na danej hladine významnosti za nenáhodné a môžeme ich teda interpretovať ako zákonité.

R/S analýza

R/S analýza (angl. Rescaled Range analysis) alebo Hurstova štatistika (Hurst, 1951, 1956 ex Chen & Hiscott, 1999a; Hurst, 1965 ex Majtán & Hiroshi, 2002; Sakalauskiené, 2003) je nástrojom umožňujúcim analýzu časovej postupnosti a dá sa ľahko konvertovať do terminológie fraktálov (Chen & Hiscott, 1999a). Bola spočiatku navrhnutá a používa sa najmä v hydrológii na analýzu hydrologických parametrov (Sakaluskiené, 2003). Základom R/S analýzy je matematický vzťah (vzorec 10), kde R je rozpätie medzi maximálnou a minimálnou hodnotou zistenou za určité časové obdobie T, S je štandardná odchýlka a H je Hurstov koeficient.

Vzorec 10. vzorec01K.gif, 3 kB

Na interpretáciu depozičného subprostredia v hlbokomorskom kuželi bola navrhnutá a aplikovaná táto metóda až na konci 90-tych rokov minulého storočia (Chen & Hiscott, 1999a), keď sa pri štúdiu možností aplikácie Hurstovej štatistiky zistilo, že Hurstov koeficient, označovaný ďalej ako K možno použiť na interpretáciu depozičného subprostredia v hlbokomorskom prostredí. Hodnoty tohto parametra vypočítané pre hrúbky vrstiev pôvodne usporiadanej sekvencie ako aj ich odchýlky od priemernej hodnoty pre mnohokrát náhodne premiešané údaje sú rôzne pre rôzne depozičné subprostredia (Obr. 1)

Obr. 1. Hurst_model.gif, 50 kB

Postup pri výpočtoch je podrobnejšie popísaný v práci Chen & Hiscott (1999a). Pri analýze údajov zo sedimentárnych sekvencií sa najskôr všetky hodnoty hrúbok vrstiev sedimentov turbiditového typu prevedú na hodnoty ich logaritmov pri základe 10. Pre takto konvertované údaje sa vypočítajú štandardné odchýlky od strednej hodnoty a vynesú sa do grafu. Hodnotu R potom možno určiť priamo z grafu ako rozpätie medzi najnižšou a najvyššou hodnotou štandardnej odchýlky. Koeficient K potom možno určiť podľa vzorca 11:

Vzorec 11. vzorec02K.gif, 4 kB

kde R je maximálne rozpätie kumulatívnych odchýliek od strednej hodnoty, S je štandardná odchýlka a N je počet meraní. Takto vypočtaný koeficient bude ďalej označovaný ako K a reprezentuje Hurstov koeficient pre pôvodne usporiadanú sedimentárnu sekvenciu. Podobným spôsomom sa vypočíta Hurstov koeficient pre náhodne premiešané údaje. V pôvodnej práci, ktorá popisuje metodiku boli údaje hrúbok vrstiev náhodne premiešané 300-krát. Pre súbor Hurstových koeficientov Ki náhodne premiešaných údajov sa potom v ďalších výpočtoch používa ich priemerná hodnota, Kp a štandardná odchýlka, sk. Z týchto údajov možno vypočítať hodnotu odchýlky Hurstovho koeficientu, od priemernej hodnoty Hurstových koeficientov, Kp pre náhodne premiešané údaje podľa vzorca 12.

Vzorec 12. vzorec03K.gif, 5 kB

Takto vypočítané hodnoty K a K´potom možno vyniesť do grafu závislosti počtu štandardných odchýliek od strednej hodnoty Hurstovho koefincientu a hodnôt Hurstovho koeficientu (Obr. 1), ktorý je základom pre následnú interpretáciu depozičných subprostredí. Jednotlivé depozičné subprostredia pritom zaberajú rozličné časti tohto grafu a boli rozdelené do troch skupín (Chen & Hiscott, 1999a). Vysoká hodnota hurstových koeficientov a vežké odchýlky od strednej hodnoty Hurstových koeficientov pre náhodne premiešané údaje (1. skupina) charakterizujú sedimenty kanálov a gradačných valov. Pre sedimenty lalokov kužežov boli zistené stredné hodnoty koeficientu K a odchýliek od strednej hodnoty Hurstových koeficientov náhodne premiešaných údajov (2. skupina). Najnižšími hodnotami K a najmenšími odchýlkami od strednej hodnoty Hurstových koeficientov pre náhodne premiešané údaje sa vyznačujú sedimenty bazénovej pláne (3. skupina). Sedimentárne sekvencie, ktoré obsahujú sedimenty kanálov aj sedimenty lalokov kužežov spadajú do oblastí 1. a 2. skupiny, v závislosti od toho či majú vyvinuté sedimenty agradačných valov (Chen & Hiscot, 1999a).

Účinnosť popísanej metódy je daná množstvom spracovaných dát a najpresnejšia je pri počte údajov n > 100. Popísaná metodika zatiaľ nie je podrobnejšie prepracovaná a je potrebné aplikovať ju zvlášť obozretne a pri interpretácii zvážiť všetky kritériá (Tab. 1.)

Tab. 1. Kritériá pre rozlišovanie prosredí v podmorských kužežoch (Chen & Hiscott, 1999a).

Sedimenty kanálov vrchného a stredného kužeža:

  1. Nápadné prejavy amalgamácie a stôp hrnutia na báze vrstiev.
  2. Závalky (ílovcové intraklasty) sú sústredené na báze vrstvy.
  3. V klastoch môže byť prítomné široké spektrum zrnistostých tried, od hrubozrnných al. štrkovitých klastov až po jemnozrnný piesok. Vo vslúnových pieskovcoch sú valúny sústredené pri báze vrstiev.
  4. Vo väčšine pieskovcových vrstiev chýbajú vrchné Boumove intervaly a prítomné sú len Ta Boumov interval a S3 interval.
  5. Dominujú hrubé až veľmi hrubé vrstvy.
  6. V hrubozrnných výplňach kanálov môžu byť vyvinuté štatisticky rozlíšitežné nahor zjemňujúce sekvencie
  7. Nápadné zoskupovanie hrubovrstevnatých, hrubozrnných a pieskovcových vrstiev a tenkovrtevnatých, jemnozrnných a ílovcových vrstiev odvodené z vysokej hodnoty K a nápadné výchýlky od priemernej hodnoty hurstových koeficientov pre náhodne premiešané sekvencie.

Sedimenty lalokov

  1. Bežná je amalgamácia, ale rozsiahle stopy hrnutia sú zriedkavé; väčšina piesčitých vrstiev má paralelnú alebo mierne zvlnenú bázu.
  2. Ílovcové intraklasty sú roztrúsené v pieskovcových vrstvách alebo "plávajú" vo vrchnej časti vrstiev a obyčajne sú menšie ako 20 cm.
  3. Štrkovité a granulitové zrnitostné tirdy klastov väčšinou chýbajú.
  4. Vrchné intervaly Tc a/alebo Td-e sú zvyčajne čiastočne zachované, kým vo väčšine pieskovcových vrstoev dominuje Ta Boumov interval.
  5. Sú väčšinou tenko až hrubovrstevnaté.
  6. Asymetrické usporiadanie hrúbok vrstiev alebo zrnitosti v sekvenciách nemá význam pre identifikáciu prostredia lalokov.
  7. Usporiadanie hrúbok vrstiev je odvodené od stredných hodnôt K a stredných odchýliek od priemenej hodnoty hurstovho koeficientu pre náhodnne premiešané sekvencie, ale výrazné je naopak pre prietržové sedimenty v systémoch kanálov a agradačných valov.

Sedimenty tenkovrstevnatých pieskovcov bazénovej pláne

  1. Vzácna amalgamácia. Väčšina pieskovcov má paralelnú, neeróznu bázu a dobré zachované Td-e Boumove intervaly pri strope.
  2. Vačšina vrstiev je jemno až strednozrnná s vysokým obsahom kalovej základnej hmoty (> 30 % alebo aj viac).
  3. V pieskovcoch dominujú Tb, Tc, a Td-e Boumove jednotky.
  4. Niektoré veľmi hrubé vrstvy ukončené neobvykle hrubými ílovcami sa označujú ako "megaturbidity".
  5. Asymetrické sekvencie hrúbok vrstiev alebo zrnitosti sú bezvýznamné.
  6. Majú nižšie hodnoty K ako sedimenty kanálov a lalokov a nižšie odchýlky od priemernej hodnoty Hurstovho koeficientu v náhodných sekvenciách.